SanatiSharif.ir مقطع مخروطی: دایره: از دوران خط متقاطع d با L حول آن یک مخروط نامحدود بدست میآید که سطح مقطع آن با یک

Transcript

1 مقطع مخروطی: از دوران خط متقاطع d با L حول آن یک مخروط نامحدود بدست میآید که سطح مقطع آن با یک صفحه میتواند دایره بیضی سهمی هذلولی یا نقطه خط و دو خط متقاطع باشد. دایره: مکان هندسی نقاطی است که فاصلهی آنها از یک نقطهی ثابت مقدار ثابتی باشد. 1 ( ) ( y ) R مثال 1 : معادلهی دایرهای به مرکز ) مثال : معادله دایرهای به مرکز )3 و- و- 1( O بنویسید که از ) 4 و 1 -) A میگذرد. ( O بنویسید که بر محور ها مماس باشد. نکته: 1 ( معادلهی دایرهی مماس بر محور o به صورت زیر است: ( معادلهی دایرهی مماس بر محور oy به صورت زیر است: 3( معادلهی دایرهی مماس برهردو محور به صورت زیر است: ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( ) ( y )

2 تست 3: معادلهی دایرهای مماس بر هر دو محور بنویسید که مرکز آن روی خط = باشد. ( ) ( y ) ( ) ( y ) 4 4 ) )4 ( ) ( y ) ( ) ( y ) )1 1 )3 تست 4: شعاع دایرهای مماس بر هر دو محور که از نقطهی ) وA)-1 بگذرد چقدر است )4 1 یا )3 1 یا 5 یا 1 ) یا نکته: اگر خطی بر دایره مماس باشد فاصلهی مرکز دایره تا آن خط با شعاع دایره برابر است. A, A ( تا خط a by c 0 به صورت زیر بدست میآید: یادآوری: فاصلهی نقطهی (A y AH a A by a A b c مماس باشد. y 1 بنویسید که بر خط 0 O)4 باشد کدام است )1 مثال 5: معادلهی دایرهای به مرکز )1 و- تست 6: معادله دایرهای مماس بر نیمساز ناحیهی اول و دوم که شعاع آن برابر (y ) 8 ) ( ) ( y ) (y 4) 8 )4 ( 4) y 8 8 )1 )3

3 و- هندسه تحليلي و جبرخطي (y 4) y مثال 7 : طول وتری که خط 1 در دایرهی 9 جدا میکند را بدست آورید. y وتری به طول 4 ایجاد کند کدام است تست 8: معادله دایرهای به مرکز ) وO)-3 که روی خط 9 0 ( 3) ( y ) ( 3) ( y ) 0 ) 36 )4 ( 3) ( y ) ( 3) ( y ) 4 8 تست 9: کوچکترین دایرهای گذرنده از ) 1 وA)4 که بر محور oy مماس باشد چه شعاعی دارد ) 4 )4 )1 )3 )1 5 )3 تست 11: کمترین فاصلهی نقاط دایرهی 10 3y چقدر است 3 تا خط 0 ( 5) ( y 4),6 )B گذشته و مرکزآن روی y 1 باشد کدام است و (1 1(B دو سر قطر آن باشند کدام است (y 1) (y 1) 1) ) ) 4 )4 10 )1 )3 A( 4, تست 11: شعاع دایرهای که از (7 ) )4 تست 1: معادلهی دایرهای که ) 1 وA) و )1 ( 1) ( 1) y y 5 )1 )3 1)1 )3 3

4 و و 1 و 3 و- هندسه تحليلي و جبرخطي y 4 تست :13 اگر دو خط y و باشد شعاع این دایره چقدر است معادالت قطرهای یک دایره و خط y 3 0 مماس بر آن دایره )4 6 )3 ( ( m معادلهی قطرهای یک دایرهاند اگر این دایره از نقطهی y ( m 1) تست :14 تمام خطوط به صورت )4 y 1 3 )3 5 ) 5( بگذرد شعاع آن چقدر است 4) O(, به مرکز (0 که بر نیمساز ربع اول مماس باشد خط به معادلهی رابا کدام طول قطع 1 و ) )4 3)1 ( 5)1 تست 15: دایرهای میکند معادلهی خط مماس بر دایره: میخواهیم معادله خطی گذرنده از A بنویسیم که بر دایرهی )R و C)O مماس باشد. 3(A میگذرد. 4 1, الف. اگر A روی دایره باشد: معادلهی خط گذرنده از نقطهی A, A ( و y A) 1) ( را بنویسید که از 1( ( y ) ( ) ( y ) A y A A R ( A ) 5 )1 )3 مماس بر دایره به صورت y y است. مثال 16: معادله خط مماس بر دایرهی 5 4

5 m( 0 ) ب. اگر A خارج از دایره باشد : معادله خطهای گذرنده از نقطهی ) 1 A( 1 y, به صورت 0 y y است که فقط شیب آن معلوم نیست. برای پیدا کردن m باید فاصلهی مرکز دایره تا این خط را با شعاع دایره برابر قرار دهیم. A( 4, 3) (y 1) مثال 17: معادله خطهای مماس بر دایره 4 معادلهی گستردهی دایره: اگرمعادلهی دایرهای به صورت را بنویسید که از نقطه میگذرد. باشد آنگاه y a by c 0 مختصات مرکز این دایره با ریشهی مشتق ضمنی بدست میآید و داریم: y 1 R a b 4c 3 y 0 4 y 1 4 تست :18 دو دایرهی y 0 4 و چند مماس مشترک دارند y ) 4( مماس مشترک ندارند 4 و نقطهی B روی دایرهی 3 0 قرار y 1 )1 3 )3 4 6y 4 تست 19: نقطهی A روی دایرهی 0 دارد کمترین فاصلهی نقاط A و B چقدر است ) 4 )4 1 )1 3 )3 5

6 و و- و- هندسه تحليلي و جبرخطي k k وضعیت نقطه نسبت به دایره: مختصات نقطهی A را در معادلهی گستردهی دایره قرار میدهیم و عدد k بدست میآید. 1( اگر 1<k آنگاه نقطه خارج دایره است و (اگر 1>k آنگاه نقطه داخل دایره است و مثال 1: طول کوتاهترین وتری که از )1 مثال 1: طول مماسی که از ( طول مماسی است که از نقطه بر دایره رسم میشود. طول کوتاهترین وتر گذرنده از نقطه در دایره است. y 6 y درون دایرهی 0 A)1 y 3y بر دایرهی 0 A)1 مثال : از نقطهی ) 1 وA)5 دو مماس بر دایرهی 5 y رسم میشود چقدر است رسم میشود چقدر است رسم شده است. مختصات نقاط تماس را بدست آورید. مثال 3: معادلهی مکان هندسی نقاطی را بنویسید که فاصله آنها از ) 1 وA)4 نصف فاصله آنها از )1 )1 B باشد. 6

7 7

8 8

9 9

10 11

11 وF هندسه تحليلي و جبرخطي F بیضی: مکان هندسی نقاطی است که مجموع فاصلههای آنها از دو نقطهی ثابت F و مقدار ثابتی باشد. b a y MF MF a کانونهای بیضی هستند. و فاصلهی بین آنها فاصله کانونی نام دارد. A FF c FF F )1 (امتداد بیضی را در دو نقطه قطع میکند که A و AA همچنین فاصله ی آنها قطر اصلی است وداریم: a 3( مرکز بیضی وسط F و F است. نامیده میشوند 4( محور تقارن دیگر بیضی با منحنی در نقاط B و B متقاطع است. این نقاط راسهای فرعی نام دارندوفاصله بین آنها قطر فرعی یا قطر کوچک است: BB b a b c 5( معادلهی بیضی با توجه به افقی یا قائم بودن شکل آن به صورتهای زیر است: y y 1 ) 36 )4 4 چقدر است a 5y b y 1 تست 1 : کدام بیضی افقی است 9 4y 4y 1 )1 36 )3 تست : فاصلهی کانونی بیضی 40 6 )4 )3 ) )1 11

12 5 تا دورترین کانون آن چقدر است 7)4 ( ) ( y ) b a 1 8)3 16y 1) ( را بدست آورید. 3( y 1) ) 3( چقدر است ( y 1) تست 3: فاصلهی راس اصلی بیضی 400 9) o, مرکز بیضی باشد آنگاه: ( ) ( y ) a b 1 11)1 اگر نکته: مثال 4: مختصات کانونهای بیضی 6 تست 5: طول قطر فرعی بیضی 1 1 ) )4 مثال 6 : مختصات راسهای ناکانونی بیضی 1 ( ) ( y 3) را بدست آورید. 5 4 )1 )3 1

13 و 1 و- و- و- و- و- هندسه تحليلي و جبرخطي A)-1 )5 A و ( تست 7: معادله بیضی با راسهای ) که طول کوتاهترین قطر آن برابر باشد کدام است )1 F برابر 11 باشد. ( ( y ) 1 9 ( ) ( y ) ) 1 ) ( ) ( y ) 9 4 ( ) ( y ) )1 1 )1 مثال 8: معادلهی بیضی به مرکز ) 4 وO)-1 بنویسید که ) 4 وM)1 و ) 1 وN)-1 دو رأس آن باشند. F)1 و 7( مثال 9: معادلهی مکان هندسی نقاطی را بنویسید که مجموع فاصلههای آنها از )1 ( 1) ( y 1) باشد m را بدست آورید. 14 m ( 5) ( y b) باشد a و b را بدست آورید. a 1 کانون بیضی 1 F)4 راس کانونی بیضی 1 5(A مثال 11: اگر ( مثال 9: اگر ) تست 11 : معادلهی بیضی به مرکز ) وo)-1 که بر محورهای مختصات مماس باشد کدام است ( 1) ( y ) 4 1 ( 1) ( y ) ) 1 )4 ( 1) ( y ) 4 1 ( 1) ( y ) )1 1 )3 13

14 y 1 مربوط به بیضی افقی است 3 m 3m تست 11: به ازای کدام مقدار m معادلهی 3 )4 4 7 )3 b 1 a 4 5 ) 1)1 خروج از مرکز بیضی: در هر بیضی نسبت مثال 1: در هر یک از بیضیهای زیر خروج از مرکز را بدست آورید. 1 الف( c e خروج از مرکز نام دارد و معیاری از کشیدگی بیضی است. a s BFF / s OAB 4( 1) ( y 3) 5 5 4( ) 5( y 1) ب( 0 مثال 13: در بیضی شکل مقابل اگر وتر کانونی بیضی: خروج از مرکز چقدر است در بیضی وتری که از کانون می گذرد و بر محور کانونی عمود است وتر کانونی نام دارد و داریم: b MN a 14

15 و و- هندسه تحليلي و جبرخطي a by 1) 4( را بدست آورید. 16( y 1) c dy e 0 مثال 14: طول وتر کانونی بیضی 1 معادلهی گستردهی بیضی: اگرمعادلهی یک بیضی به صورت 1 (مختصات مرکز بیضی ریشه مشتق ضمنی است. (خروج از مرکز بیضی به صورت باشد 4 را بدست آورید. 3 باشد فاصلهی کانونی چقدر است (F نصف فاصلهی آنها از خط 1-= باشد. min( a, b) e 1 بدست میآید. ma( a, b) 6y 3y 3( اگر a b بیضی قائم است. 8 1y 8 مثال 15: مختصات کانونهای بیضی 0 m ny m n 1 مرکز بیضی 0 o)1 مثال 16: اگر ( مثال 17: مقادیر m و n را طوری بدست آورید که ) 3 وA)- رأس کانونی بیضی زیر باشد. 4y 16 my n 0 مثال 18: معادلهی مکان هندسی نقاطی را بنویسید که فاصلهی آنها از )1 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 1

21 سهمی: مکان هندسی نقاطی که فاصلهی آنها از یک نقطه و یک خط برابر است. اگر مبدا مختصات وسط نقطه و خط مورد نظر باشد آنگاه معادلهی سهمی به صورتهای زیر است. 4ay, y 4a نکته 1( نقطهی F کانون سهمی و خط d هادی است. نکته ( a را پارامتر سهمی مینامیم که میتواند مثبت یا منفی باشد و تعیین کنندهی جهت دهانهی سهمی است. مثال 1( فاصلهی کانون تا خط هادی سهمی مثال ( مختصات کانون سهمی y y 4 مثال 3( معادلهی خط هادی سهمی 0 را بدست آورید. چقدر است y را بدست آورید. 1

22 و- هندسه تحليلي و جبرخطي S(, نکته )3 اگر ) رأس سهمی باشد آنگاه داریم: ( ) 4a( y ), ( y ) 4a( ) 1(S راس آن و = خط هادی آن باشد. y 6y مثال 4( معادلهی سهمی بنویسید که )1 4 4y مثال 5( مختصات کانون سهمی 0 مثال 6( معادلهی خط هادی دو سهمی را بدست آورید. و در چه نقطهای متقاطع هستند 6y 0 مثال 8( معادله مکان هندسی نقاطی را بنویسید که فاصلهی آنها از ) 1 وF)5 و خط 3-=y برابر باشد. y بر روی محور yها است ay 3 تست 9: به ازای کدام مقدارa کانون سهمی 0 3 )4 4 )3 6 ) )1

23 و 1 و 1 و- و و- هندسه تحليلي و جبرخطي وتر کانونی سهمی : در سهمی وتری که از کانون می گذرد و با خط هادی موازی است وتر کانونی نام دارد و داریم: MN 4a مثال 11( معادلهی سهمیهای شکلهای زیر را بنویسید. نکته 4( از هر نقطه روی محور تقارن سهمی میتوانیم مماسهای برابر برسهمی رسم کنیم. نکته 5( از هر نقطه روی خط هادی میتوانیم مماسهای عمود بر هم بر سهمی رسم کنیم. نکته 6( خط مماس بر سهمی افقی نمیتواند افقی باشد همچنین خط مماس بر سهمی قائم نمیتواند خط قائم باشد. نکته 7( دو خط موازی هیچگاه نمیتوانند بر سهمی مماس باشند. نکته 8( اگر نقطه ای داخل سهمی باشد فاصلهاش تا کانون سهمی کمتر از فاصلهاش تا خط هادی است. 8y 17 تست 11: مختصات نقطهای که از آن نقطه مماسهای عمود بر هم و برابر بر سهمی 0 کدام است F(0,) )1 )-1 )1 4( ) ( )3 1( )1 )- ( )1 ( )3 رسم شود 3

24 4

25 5

26 6

27 F هذلولی: مکان هندسی نقاطی است که تفاضل فاصلههای آنها از دو نقطهی ثابت F و مقدار ثابتی باشد. a y b 5 )4 MF MF a وF F کانونهای هذلولی هستند و فاصلهی بین آنها فاصلهی کانونی نام دارد. هذلولی را در نقطه قطع میکند که A و A نامیده میشوند FF )1 ) همچنین فاصله ی آنها قطر است وداریم: F AA a 3 (مرکز هذلولی وسط F و است. 4( معادلهی هذلولی با توجه به افقی یا قائم بودن آن به صورتهای زیر است : y 1 4 فاصلهی کانونی چقدر است )3 a 4 طول قطر چقدر است b ) y 1 y تست 1 : در هذلولی 1 3 )1 تست : در هذلولی )4 1 5 )3 4) 3)1 7

28 و- و- و- هندسه تحليلي و جبرخطي 5 از دو کانون برابر 6 باشد فاصلهی 8)4 5my 5m تست 3: اگر تفاضل فاصلههای هر نقطه روی هذلولی 0 5 )3 ( y ) ( 1, 10 ) کانونی کدام است (, ) 9)1 نکته: اگر o مرکز هذلولی باشد آنگاه : ( ) ( y ) ) a b a b ) 3( y را بدست آورید. 6( 1) A 1 مثال :4 مختصات کانونهای هذلولی 18 0 تست 5: معادلهی هذلولی با راسهای ) 1 وA)5 و ) 1 و 1 -( که فاصلهی کانونی آن برابر 11 باشد کدام است ( ) ( y 1) 9 16 ( y ) ( 1) 9 16 F )1 F)1 و 7( 1 ) 1 )4 ( y 9 ) ( 1) ( ) ( y 1) )1 1 )3 مثال 6: معادلهی هذلولی با کانونهای )1 بنویسید که طول قطر آن 4 واحد باشد. ( 1) ( y 1) باشد m را بدست آورید. 5 m کانون هذلولی 1 F)4 مثال 7: اگر )1 8

29 و- هندسه تحليلي و جبرخطي خروج از مرکز هذلولی: در هر هذلولی نسبت c e خروج از مرکز نام دارد. a b 1 a مثال 8: خروج از مرکز هر یک از هذلولیهای زیر را بدست آورید. 1 الف( ب( 4( 1) ( y 3) 5 5 ( ) ( y 1) 1 مثال 9: معادلهی هذلولی با رأسهای ) 4 وA)-1 و ) A )-1 بنویسید که مجانبهای هذلولی: خطهایی که منحنی در بی نهایت بر آنها مماس میشود. 3 نکته 1( هر دو مجانب هذلولی از مرکز میگذرند و شیب آنها قرینهی یکدیگر است. نکته ( شیب مجانبهای هذلولی افقی b a و شیب مجانبهای هذلولی قائم e خروج از مرکز آن باشد. a است. b 9

30 نکته 3( فاصلهی کانون هذلولی تا خط مجانب آن برابر b است. نکته 4( زاویه بین مجانبهای هذلولی به صورت زیر بدست میآید. نکته 5( مستطیل رسم هذلولی: b sin( ) c a 1 cos( ) c e b tan( ) a نکته 6( هذلولی متساوی الساقین )متساوی القطرین( : هذلولی که درآن e 90 a b باشد., )o باشد معادلهی مجانب دیگر را بنویسید. 4 مثال 11 ( اگر y=3+1 مجانب یک هذلولی به مرکز ) y مجانبهای آن و ) 1 وA)3 راس آن باشد. و 3 y مثال 11( معادلهی هذلولی بنویسید که 1 31

31 و 1 هندسه تحليلي و جبرخطي a by c dy e 0 معادلهی گستردهی هذلولی: اگرمعادلهی یک هذلولی به صورت باشد مختصات مرکز بیضی ریشه مشتق ضمنی است. برای تمام اطالعات هذلولی باید معادله را استاندارد کنیم. 4 my 4 مثال 1( اگر خروج از مرکز هذلولی m 0 8 تست 13: مساحت مستطیل رسم هذلولی 40 0 برابر باشد فاصلهی کانونی آن چقدر است 4y حرکت کنند کمترین فاصلهی 5)4 4 چقدر است 9 9y 4 ) 36 )4 1 )1 18 )3 18 تست 14( اگر دو نقطهی M و N روی دو شاخهی منحنی )3 16مختصات کانون کدام است 5y 10 3 ( 5 41, 0) ) ( 41, 0) )4 ) MN چقدر است 5 3 )1 160 تست 15( در هذلولی 0 )5 ()1 ( 41 5, 0) )3 31

32 3

33 33

34 34

35 35

36 36

37 دوران محورهای مختصات : جدید به فرض کنیم محورهای مختصات را به اندازه دوران دهیم در اینصورت A(,y) در دستگاه y 1 cos sin y sin cos y 45 o, A( تبدیل میشود و داریم: y) مثال 1: اگر محورهای مختصات را به اندازهی میشود دوران دهیم معادلهی به چه معادلهای تبدیل میتواند یک مقطع مخروطی a by cy b 0 d ey a با شرط by cy d ey نکته : 1 هر معادله به صورت f 0 دوران یافته باشد. باشد آنگاه 3 را به معادلهی استاندارد تبدیل کنید. نکته : اگر θ زاویه دوران مناسب برای استاندارد سازی معادلهی f 0 b tan a c 4y 3y مثال : با انتخاب زاویهی دوران مناسب معادلهی 0 37

38 3y 3y 8 3 8y تست 3: برای آنکه معادلهی 0 زاویهای دوران دهیم به صورت استاندارد درآید محورها را باید با چه 4 )4 a 3y 4y )3 3 ) y تست 4: اگر با دوران به زاویهی 61 معادلهی 1 به فرم استاندارد تبدیل شود a کدام 5)4 8 باشد کدام گزینه درست است sin 3 10 )4 B 0 3)3 4y 5y sin 1 10 )3 6) 6 )1 است 4)1 تست 5: اگرθ زاویهی دوران مناسب برای معادلهی 36 cos 5 ) cos نکته : اگر معادلهی زیر معادلهی یک مقطع مخروطی دوران یافته باشد آنگاه: A By Cy D Ey F 0 معادله مربوط به هذلولی یا دو خط متقاطع است. 3y y B 1 5 )1 4AC )1 اگر 0 y 1 مثال 6 : نوع معادلهی (اگر را تعیین کنید. B معادله مربوط به بیضی یا نقطه یا تهی است. 4AC 0 38

39 يطخربج و يليلحت هسدنه )3(لصف يطورخم عطاقم 39 یهلداعم :7لاثم y y y تسا یعطقم عون هچ هب طوبرم یطورخم عطقم عون :8 لاثم y y.دینک نییعت ار رگا)3 0 4 AC B.دشاب یهت ای طخ کی ای یزاوم طخ ود ای یمهس دناوتیم هلداعم.دینک نییعت ار ریز یاهیطورخم عطقم عون :9 لاثم )فلا y y y )ب y y y )ج y y y )د y y y

40 4 4 )4 3 )4 6 3 )4 A By Ay نکته )3 معادلهی F به صورت زیر استاندارد میشود : B ( A ) B ( A ) 4 چقدر است B ( A ) y یا B ( A ) y y 4y 4)3 4y y F F تست 9: فاصلهی دو کانون مقطع مخروطی 15 ) )1 تست 11: فاصلهی کانونی مقطع مخروطی 1 کدام است کدام است 3 )3 3 y y ) ) تست 11: خروج از مرکز مقطع مخروطی A 3 ) By Cy F )1 6 3 )1 نکته 4( معادلهی ابتدا معادلهی به صورت زیر استاندارد میشود : B (C m ( A را حل میکنیم سپس جواب های معادله را به عنوان ضرایب m را به فرم استاندارد تبدیل کنید. 8 4y 5y 4AC 4 0, قرار میدهیم. y 36 مثال 1: معادلهی 41

41 را بدست آورید. A 3y y By Cy مثال 13: فاصلهی کانونی مقاطع مخروطی 10 با دوران محورهای مختصات به معادلهی y 5 )4 0 )4 3 5y 3y تبدیل شود آنگاه: 8y y نکته )5 اگر معادلهی D Ey F 0 a by cy d ey F 0 B 4AC b 4ac الف. ب. مجموع ضرایب y, تغییر نمیکند. تست 14: فرم استاندارد معادلهی 5 کدام است 3y 3y 5 ) 5 )4 y y y 3y 5 )1 5 )3 تست 15: شکل استاندارد معادلهی کدام است y ) )4 5 )3 3 3 y y 1 )1 1 )3 تست 16: فرم استاندارد معادلهی y 5 کدام است y 10 ) y 5 )1 y y چقدر است 4 تست 17: خروج از مرکز مقطع مخروطی 0 )3 3 ) )1 41

42 4

43 43

44 44

45 45

46 46